Question

如圖，在⊙M中，弦AB所對(duì)的圓心角∠AMB=120°．已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠AMO=

1

2

∠AMB=60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故此拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)此特點(diǎn)可設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式．

解答：解：（1）∵M(jìn)A=MB，OM⊥AB，∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，O）．
∵經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+c（a≠0）．
把C（0，-1）和B（

3

，O）分別代入上式，得

-1=c 0=3a+c

，
解得

a= 1 3 c=-1

，
∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

3

x²-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了圓的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，比較復(fù)雜，但難度適中．