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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)F(2 ,0),直角GF交y軸正半軸于點(diǎn)G,且∠GFO=30°.

          (1)請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);
          (2)若⊙O的半徑為1,點(diǎn)P是直線GF上的動點(diǎn),直線PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B.
          ①求切線長PB的最小值;
          ②在直線GF上是否存在點(diǎn)P,使得∠APB=60°?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】
          (1)解:∵F(2 ,0),

          ∴OF=2 ,

          ∵∠GFO=30°,

          ∴OG=2,

          ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是(0,2)


          (2)解:①連接OPOP,如圖,

          ∵PB切⊙OO于點(diǎn)BB,

          ∴OB⊥PB,

          根據(jù)勾股定理得PB2=OP2﹣OB2,

          ∵OB=1,

          ∴要使BP的值最小,則需OP的值最小,當(dāng)OP⊥GF時,線段PO最短,

          在Rt△PFO,OF=2 ,∠GFO=30°,

          ∴OP= ,

          ∴PB= = = ;

          ②存在,

          ∵PA、PB均與⊙O相切,

          ∴OP平分∠APB,

          ∵∠APB=60°,

          ∴∠OPB=30°,

          ∵OB=1,∴OP=2,

          ∴點(diǎn)P是以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點(diǎn),

          即圖中的P1、P2兩點(diǎn),連接OP2,

          ∵OG=2,

          ∴點(diǎn)P1與點(diǎn)G(0,2)重合,即P1(0,2),

          在Rt△GOF中,∠GFO=30°,

          ∴∠OGF=60°,

          ∵OG=OP2

          ∴△GOP2是等邊三角形,

          ∴GP2=OG=2,已知GF=4,

          ∴FP2=2,

          ∴P2為GF的中點(diǎn),

          ∴P2 ,1),

          綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)或( ,1).


          【解析】(1)由已知條件得到OF=2 ,解直角三角形即可得到結(jié)論;(2)①連接OPOP,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB,當(dāng)OP⊥GF時,線段PO最短,解直角三角形得到OP= ,PB= = =2;
          ②根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠OPB=30°,求得OP=2,點(diǎn)P是以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點(diǎn),由于點(diǎn)P1與點(diǎn)G(0,2)重合,即P1(0,2),推出△GOP2是等邊三角形求得FP2=2,即可得到結(jié)論.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

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          C.3
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