Question

已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時，
①求證：∠ADB=∠AFC；②請直接判斷結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？若不成立，請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．

Answer 1

（1）可通過證明△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．
（2）結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是：
∠AFC=∠ACB∠DAC（3），，1，

試題分析：（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．  
②結論：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．   
（2）結論∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是：
∠AFC=∠ACB∠DAC（或這個等式的正確變式）．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC= 60°．
∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC．       
（3）補全圖形如下圖：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及這兩個等式的正確變式）．
點評：本題難度較低，主要考查學生對：全等三角形性質和判定及四邊形性質知識點的掌握，為中考�？碱}型，要求學生牢固掌握解題技巧。