Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC，交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）其中BC=6，cosC=

3

5

，求⊙O的半徑；
（3）如果⊙O在如圖位置開始沿著射線BA方向移動(dòng)，當(dāng)OB滿足什么條件時(shí)，⊙O與直線AC相交？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）連接OM．根據(jù)OB=OM，得∠1=∠3，結(jié)合BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，得∠1=∠2，則OM∥BE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結(jié)論；
（2）設(shè)圓的半徑是r．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得BE=CE=3，再根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求得AB=12，則OA=12-r，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理求解；
（3）△ABC是已知的三角形，因而邊長(zhǎng)是已知數(shù)值，設(shè)AB=AC=a，BC=2b，則BE=EC=b，則a，b就是已知數(shù)．利用相似三角形的性質(zhì)求得當(dāng)⊙O與直線AC相切時(shí)OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求得OB的范圍．

解答：（1）證明：連接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分線，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE與⊙O相切；

（2）解：設(shè)圓的半徑是r．
∵AB=AC，AE是角平分線，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=

3

5

，
∴AB=BE÷cosB=5，則OA=5-r．
∵OM∥BE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

，
即

r

3

=

5-r

5

，
解得r=

15

8

；

（3）設(shè)AB=AC=a，BC=2b，則BE=EC=b，設(shè)AE=h，同（2）可以得到：

a-r

a

=

r

b

，解得：r=

ab

a+b

，
則△ABC中AC邊上的高長(zhǎng)是：BG=

2bh

a

．
當(dāng)圓與AC相切，且O在邊AN上時(shí)：作OF⊥AC于，則OF=r=

ab

a+b

，且OF∥BG．
∴

OF

BG

=

OA

AB

，
∴OA=

OF•AB

BG

=

a2b a+b

2bh a

=

a3

2h(a+b)

，
又∵h(yuǎn)=

a2-b2

，
∴OA=

a3

2(a+b) a2-b2

=

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
則OB=a-

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
當(dāng)O在BA的延長(zhǎng)線上，且與AC相切時(shí)，OB=a+

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
則當(dāng)OB滿足：a-

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

＜OB＜a+

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

時(shí)⊙O與直線AC相交．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確利用三角形的邊長(zhǎng)表示出⊙O與直線AC相交是OB的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．