Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，）．連接AC、BC．
（1）則拋物線的對稱軸為直線______；拋物線的解析式為______；
（2）若點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA，BC邊運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請說明理由；若存在，請直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）（每空，共4分）對稱軸為x=-1；
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x+3）（x-1），
代入C的解析式得：a×3×（-1）=，則a=-，
則拋物線的解析式為，
或是．
（2）如圖1，

∵M(jìn)、N點(diǎn)的運(yùn)動速度相同，
∴BM=BN=t，又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t，
∴四邊形BMPN是菱形，
∴PN平行MB（即x軸），
∴△CPN∽△CAB，
∴，易得AB=4，BC=2，
∴，解得，
∴NB=，
∴CN=，
∴，代入可解得，
∴，
∴P．
（3）（前2種情況各，最后一種，共5分）

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，a）
①如圖2，當(dāng)AF=AC時(shí)，∵AC=，
∴AF=，
∴EF=，
∴F₁（-1，2），F(xiàn)₂（-1，-2）；
②如圖3，當(dāng)CE=CA時(shí)，
∴CF=，易得CG=1，
∴FG=，
∴EF=，
∴F₃（-1，-），F(xiàn)₄（-1，+）；
③如圖4，當(dāng)FA=FC時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)為AC垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)，
則PF₅=2PH=2（CH-CP）==，而PF=OD=，
所以F₅與E點(diǎn)重合，坐標(biāo)為（-1，0）．
分析：（1）A、B是對稱點(diǎn)，據(jù)此即可求出函數(shù)的對稱軸，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）易證四邊形BMPN是菱形，則PN平行MB（即x軸），可以得到△CPN∽△CAB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得t的值，以及P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)AE=AC時(shí)，可以求得AC的長，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)是H，設(shè)出F的縱坐標(biāo)，在直角△AMH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標(biāo)；
當(dāng)CF=CA時(shí)，作CG⊥對稱軸與點(diǎn)G，設(shè)出F的縱坐標(biāo)，在直角△AGH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐標(biāo)；
當(dāng)FA=FC時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)為AC垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)，據(jù)此即可求得．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與等腰三角形的綜合應(yīng)用題，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．