Question

【題目】【問題提出】已知∠AOB＝70°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度數(shù)．

【問題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．

（1）當射線OC在∠AOB的內(nèi)部時，①若射線OD在∠AOC內(nèi)部，如圖1，可求∠BOC的度數(shù)，解答過程如下：

設(shè)∠BOC＝α，∴∠BOD＝3∠BOC＝3α，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝2α，∴∠AOD＝∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝2α，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2α+3α＝5α＝70°，∴α＝14°，∴∠BOC＝14°

問：當射線OC在∠AOB的內(nèi)部時，②若射線OD在∠AOB外部，如圖2，請你求出∠BOC的度數(shù)；

【問題延伸】（2）當射線OC在∠AOB的外部時，請你畫出圖形，并求∠BOC的度數(shù)．

【問題解決】綜上所述：∠BOC的度數(shù)分別是　 　．

Answer 1

【答案】（1）②∠BOC=30°；（2）作圖見解析，∠BOC的度數(shù)分別是14°，30°，10°，42°．

【解析】試題分析: （1）②由已知條件得出∠COD、∠AOD、∠AOB與∠BOC的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)；

（2）分類討論，根據(jù)∠AOD、∠BOD．∠AOB與∠BOC的關(guān)系，得出∠BOC的度數(shù)．

試題解析:

（1）②設(shè)∠BOC=α，則∠BOD=3α，若射線OD在∠AOB外部，如圖2：

∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD= ，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣= =70°，

∴α=30°．∴∠BOC=30°；

（2）當射線OC在∠AOB外部時，根據(jù)題意，此時射線OC靠近射線OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射線OD的位置也只有兩種可能；

①若射線OD在∠AOB內(nèi)部，如圖3所示，

則∠COD=∠BOC+∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°；

②若射線OD在∠AOB外部，如圖4，

則∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣α=α=70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°；

綜上所述：∠BOC的度數(shù)分別是14°，30°，10°，42°．