Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 y=kx+b與x 軸、y 軸相交干A(6，0)，B(0，3)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在線段OA上,將線段CB 繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線AB上,過(guò)點(diǎn)D 作DE⊥x 軸于點(diǎn)E

(1)求直線y=kx+b 的表達(dá)式及點(diǎn)D 的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P在y 軸上,點(diǎn)Q在直線AB上,是否存在以C、D、P、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的Q 點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，1）;（2）Q的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）用待定系數(shù)法先求出直線解析式，由旋轉(zhuǎn)角為90°，可證得∠BCO=∠CDE，從而得到△BOC≌△CED，所以OC=DE，BO=CE=3，設(shè)OC=DE=m, 則點(diǎn)D（m+3，m），代入解析式求出m,進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).（2）分三種情況畫(huà)出圖形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

解：

（1）將A（6，0）、B（0，3）代入直線y=kx+b得，

∴

，

∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠BCO=∠CDE，

∵BC=CD，

∴△BOC≌△CED，

∴OC=DE，BO=CE=3，

設(shè)OC=DE=m,

∴D（m+3，m）

把D（m+3，m）代入得，

，

∴m=1 ，

∴D（4，1），

（2）如圖，①作CP∥AB交y軸于P,作PQ∥CD交AB于Q,則四邊形PCDQ是平行四邊形，設(shè),將C（1，0）代入得，b=,

∴，

∴P（0，），

∵點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到D,

∴點(diǎn)P向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到Q,

∴Q

② 作P′Q′∥CD交y軸于P′,交AB于Q′,則四邊形Q′CDP′是平行四邊形，

∵PQCD，P′Q′CD，

∴PQ P′Q′，

∴P′Q′PQ是平行四邊形，

∴Q′,Q關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，

∴Q′，

③ 當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，四邊形DPCQ′′為平行四邊形，

同①，由平移可得Q′′，

∴Q的坐標(biāo)為或