Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，連接MD，BD．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)N，F分別是x軸，y軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以M，D，N，F為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)N，F的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(0，)；（3）t=9﹣2．

【解析】

（1）由已知求出D點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N、F，則以M，D，N，F為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小即為M'D'+MD的長(zhǎng)；

（3）設(shè)P（0，t），作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大；

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)是3．

∵D在y=上，

∴D(2，3)，

將點(diǎn)A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N、F，

則以M，D，N，F為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)最小即為M'D'+MD的長(zhǎng)；

∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直線的解析式為y=﹣x+，

∴N(，0)，F(0，)；

（3）設(shè)P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=，tan∠PBO=，

令y=tan∠BPD=，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0時(shí)，

y=(舍)或y=，

∴t=﹣×，

∴t=9﹣2，

∴P(0，9﹣2)．