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        1. 【題目】

          如圖1,拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)為頂點(diǎn),已知點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)在直線上方的拋物線上找一點(diǎn),使的面積最大,求點(diǎn)坐標(biāo);

          (3)如圖2,連結(jié)、,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)。過(guò)拋物線上一點(diǎn),交直線于點(diǎn),求當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

          【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:;

          (2)當(dāng)時(shí),SBCD取最大值,此時(shí)P(,;

          (3)點(diǎn)M坐標(biāo)為(,)或(.

          【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0)的坐標(biāo)代入所給拋物線可得a、b的值,進(jìn)而得到該拋物線的解析式;(2) )由題意設(shè)P(),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交直線BC于點(diǎn)Q,再求得直線CB解析式,可得點(diǎn)Q的坐標(biāo),再求得PQ的長(zhǎng),利用SBCD=得出以S、x為變量的二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x的值,即可得點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)先求得點(diǎn)C,點(diǎn)E和頂點(diǎn)的坐標(biāo),再分當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)兩種情況求解即可.

          試題解析:

          解:(1)將A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)代入得:

          解得:

          拋物線的表達(dá)式為:

          (2)由題意設(shè)P(),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交直線BC于點(diǎn)Q,

          直線CB解析式:, 則Q(

          PQ=

          SBCD=

          當(dāng)時(shí),SBCD取最大值,

          此時(shí)P(

          (3)拋物線y=﹣(x﹣3)(x+1)=﹣x2+2x+3與與y軸交于點(diǎn)C,

          C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),頂點(diǎn)(1,4),E(1,0)

          tanBDE=

          (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí).

          i)若點(diǎn)N在射線CD上,

          如圖,過(guò)點(diǎn)N作y軸的垂線,垂足為G,過(guò)點(diǎn)M作GN的垂線,垂足為H,

          CNG,MNH均為等腰直角三角形,

          ∵∠CMN=BDE,∴tanCMN = tanBDE

          ∴△CNG,MNH相似比為1:2

          設(shè)CG=a,則NG=a,NH=NH=2a,

          M(3a,3+a-2a),即M(3a,3-a),

          代入得:

          解得:

          此時(shí)M(

          ii)若點(diǎn)N在射線DC上,

          如圖,過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線l,分別過(guò)點(diǎn)M、C作GN的垂線,垂足為H、G,

          CNG,MNH均為等腰直角三角形,

          ∵∠CMN=BDE,tanCMN = tanBDE

          ∴△CNG,MNH相似比為1:2

          設(shè)CG=a,則NG=a,NH=NH=2a,

          M(a,3-a-2a),即M(a,3-3a),

          代入得:

          解得:

          此時(shí)M(

          (Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí).

          ∵∠CMN=BDE<45°,

          ∴∠MCN>45°,

          而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有KCN<45°,

          點(diǎn)M不存在.

          綜上可知,點(diǎn)M坐標(biāo)為( , )或().

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