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        1. 【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動變化的過程中,有下列結(jié)論:

          ①△DFE是等腰直角三角形;
          ②四邊形CEDF不可能為正方形;
          ③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;
          ④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為
          其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
          A.1個
          B.2個
          C.3個
          D.4個

          【答案】B
          【解析】連接CD,∵∠C=90°,AC=BC=4,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,

          ∵D為AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB,CD=AD=BD,∴∠DCB=∠B=45°,∴∠A=∠DCF,

          在△ADE和△CDF中,AE=CF,∠A=∠DCF,AD=CD ∴△ADE≌△CDF(SAS), ∴ED=DF,∠CDF=∠ADE,

          ∵∠ADE+∠EDC=90°, ∴∠EDC+∠CDF=90°,即∠EDF=90°, ∴△DFE是等腰直角三角形,所以①正確;

          當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),如圖2,則AE=CE=CF=BF,DE=AE=CE, ∴CE=CF=DE=DF,

          而∠ECF=90°, ∴四邊形CDFE是正方形,所以②錯誤;

          ∵△ADE≌△CDF, ∴S△ADE=S△CDF,

          ∴S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC= × ×4×4=4,所以③錯誤;

          ∵△CEF和△DEF都為直角三角形, ∴點(diǎn)C、D在以EF為直徑的圓上,即點(diǎn)C、E、D、F四點(diǎn)在同一個圓上,

          ∵△DEF是等腰直角三角形,∴EF= DE,當(dāng)DE⊥AC時(shí),DE最短,此時(shí)DE= AC=2,

          ∴EF的最小值為2 ,即點(diǎn)C到EF的最小距離為 ,所以④正確.

          連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=45°,根據(jù)等腰三角形的三線合一得CD⊥AB,CD=AD=BD,根據(jù)等邊對等角得出∠DCB=∠B=45°,∴∠A=∠DCF,從而利用SAS判斷出△ADE≌△CDF,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊,對應(yīng)角相等得出ED=DF,∠CDF=∠ADE,根據(jù)等量代換得出∠EDF=90°,故△DFE是等腰直角三角形;當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí),如圖2,則AE=CE=CF=BF,DE=AE=CE, 故CE=CF=DE=DF,

          而∠ECF=90°, 從而知四邊形CDFE是正方形;根據(jù)全等三角形的面積相等得出S△ADE=S△CDF,然后由S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC;根據(jù)圓周角定理判斷出點(diǎn)C、D在以EF為直徑的圓上,即點(diǎn)C、E、D、F四點(diǎn)在同一個圓上,又△DEF是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理得出EF=DE,當(dāng)DE⊥AC時(shí),DE最短,此時(shí)DE= AC=2,從而求出EF的最小值。

          練習(xí)冊系列答案
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          A.
          B.
          C.4
          D.8

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          已知:如圖1,

          求作:射線,使它平分

          作法:如圖2,

          ①以點(diǎn)為圓心,任意長為半徑作弧,交于點(diǎn),交于點(diǎn)

          ②分別以點(diǎn),為圓心,以大于的同樣長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)

          ③作射線

          所以射線就是所求作的射線

          根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過程,

          (1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);

          (2)完成下面的證明

          證明:連接

          中,

          ( )(填推理的依據(jù)).

          (全等三角形的 相等).

          即射線平分(角平分線定義).

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          A.20個
          B.28個
          C.36個
          D.32個

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          1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),通過觀察分析線段DEDF、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

          2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上,其他條件不變時(shí),試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式,不需證明);

          3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)DABC內(nèi)一點(diǎn),過DDEAB,DFAC分別交直線AC,直線AB和直線BCE、FG. 試猜想線段DEDF、DGAB之間的數(shù)量關(guān)系(請直接寫出等式,不需證明).

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