Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

（1）拋物線的解析式為 ，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；

（2）如圖1，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD：S△BPD＝1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)G為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，∠OGE＝15°，連接PE，若∠PEG＝2∠OGE，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）如圖3，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOCP的面積為8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）點(diǎn)D（﹣1，2）；（3）點(diǎn)P（，）（4）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的表達(dá)式，再通過(guò)配方即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)又S△CPD：S△BPD＝1：2，可得BD＝BC＝×＝，再利用解直角三角形的知識(shí)即可求得答案；

(3)設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H，∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，則∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，解由①②構(gòu)成的方程組即可求得答案；

(4)連接BC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P(x，﹣x2﹣2x+3)，點(diǎn)H(x，x+3)，則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程解的情況即可得結(jié)論.

(1)∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(﹣3，0)，

∴，

∴，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，4)；

(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(xD，yD)，∵OB＝OC，∠BOC=90°，

∴∠CBO＝45°，BC=，

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD：DC=2：1，

∴BD＝BC＝×＝，

∴xD=-3+ BDcos∠CBO=-3+2=-1， yD＝BDsin∠CBO＝2，

∴點(diǎn)D(﹣1，2)；

(3)如圖2，設(shè)直線PE交x軸于點(diǎn)H，

∵∠OGE＝15°，∠EOG=90°，

∴∠OEG=90°-15°=75°，

∵∠PEG＝2∠OGE，

∴∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG=45°，∠HEO=∠OEG-∠PEG=45°，

∴OH＝OE＝1，

∴H(-1，0)，

設(shè)直線HE的解析式為y=mx+n，把H(-1，0)、E(0，-1)分別代入得，

解得，

∴直線HE的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…②，

聯(lián)立①②并解得：，(舍去)，

故點(diǎn)P(，)；

(4)不存在，理由：

如圖3，連接BC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

直線BC的表達(dá)式為：y＝x+3，

設(shè)點(diǎn)P(x，﹣x2﹣2x+3)，點(diǎn)H(x，x+3)，

則S四邊形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，

整理得：3x2+9x+7＝0，

解得：△＜0，故方程無(wú)解，

則不存在滿足條件的點(diǎn)P.