Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（2，0），BC=2

3

．設(shè)直線AC與直線x=4交于點(diǎn)E．
（1）求以直線x=4為對(duì)稱軸，且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn)E；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動(dòng)點(diǎn)，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線x=4與x軸的交點(diǎn)為F，易證得△ABC∽△AFE，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出EF的長(zhǎng)，也就得到了E點(diǎn)的坐標(biāo)；可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將E點(diǎn)坐標(biāo)代入其中進(jìn)行判斷即可；
（2）過M作y軸的平行線，交直線CN于P，交x軸于Q；根據(jù)拋物線的解析式可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線CN的解析式，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)拋物線和直線的解析式求出MP的長(zhǎng)；以MP為底，C、N的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得到△CMN的面積，由此可求出關(guān)于△CMN的面積與Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△CMN的最大面積．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x-4）²+m，
∵拋物線過C與原點(diǎn)O，
∴

16a+m=0 4a+m=2 3

，
解得：

a=- 3 6 m= 8 3 3

，
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

6

（x-4）²+

8 3

3

，
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

-4k+b=0 2k+b=2 3

，
解得：

k= 3 3 b= 4 3 3

．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=

3

3

x+

4 3

3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，

8 3

3

）
∴此拋物線過E點(diǎn)．
（2）過M作MQ∥y軸，交x軸于Q，交直線CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2

3

）；
可得直線CN的解析式為y=-

3

3

x+

8 3

3

；
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），則P（m，-

3

3

m+

8 3

3

），M（m，-

3

6

m²+

4 3

3

m）；
∴MP=-

3

6

m²+

4 3

3

m-（-

3

3

m+

8 3

3

）=-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

；
∴S=S_△CMN=S_△CPM+S_△MNP=

1

2

MP•|x_M-x_C|+

1

2

MP•|x_N-x_M|=

1

2

MP•|x_N-x_C|=

1

2

×（-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

）×6=-

3

2

m²+5

3

m-8

3

；
即S=-

3

2

（m-5）²+

9 3

2

（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴當(dāng)m=5時(shí)，Smax=

9 3

2

；
即△CMN的最大面積為

9 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．