Question

【題目】平行四邊形可以看成是線段平移得到的圖形，如圖1，將線段AD沿AB的方向平移AB個單位至BC處，就可以得到平行四邊形ABCD，或者將線段AB沿AD的方向平移AD個單位至DC處，也可以得到平行四邊形ABCD．

（1）在圖2，圖3，圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標，寫出圖2，圖3，圖4中的頂點C的坐標，它們分別是_____，_______，_______；

（2）通過對圖2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如圖5）時，則四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關系為______；縱坐標b，d，n，f之間的等量關系為_______（不必證明）；

（3）如圖6，在平面直角坐標系中，已知A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），則以A，B，C三個點為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為______．

Answer 1

【答案】（1）（5，2），（e+c，d），（c+e﹣a，d）；（2）m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；（3）（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質：對邊平行且相等，求解即可；

（2）如圖作輔助線，證明△BEA≌△CFD（AAS），推出AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，又已知C點的坐標為（m，n），可得m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f；

（3）由（2）的結論即可得出答案．

解：（1）由平行四邊形的性質和平移的性質得：圖1、圖2，3中頂點C的坐標分別是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d），

故答案為：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）；

（2）分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A'，B'，C'，D'，

分別過A，D作AE⊥BB'于E，DF⊥CC'于點F．

在平行四邊形ABCD中，CD＝BA，CD∥BA，

∴，

在△BEA和△CFD中，，

∴△BEA≌△CFD（AAS），

則AE＝DF＝c﹣a，BE＝CF＝d﹣b，

∵C點的坐標為（m，n），

∴m＝e＋c﹣a，n＝d﹣b＋f，即m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b

故答案為：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣3，0），B（3，0），C（2，4），

由（2）得：m＝c+e﹣a；n＝d+f﹣b，

∴點D的坐標為（3+2+3，0+4﹣0）或（﹣3+3﹣2，0+0﹣4）或（﹣3+2﹣3，0+4-0）；

即點D坐標為（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．

故答案為：（8，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．