Question

如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．

(1)求兩鐵塔軸線間的距離(即直線AB、CD間的距離)；

(2)若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸、取單位長度為1米、BA的延長方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

如圖： 　　AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200(米)． 　　設(shè)CD的延長線交地平面于點H． 　　(1)設(shè)CH=x，BH=y，由△EBP∽△EHC，得　＝即＝，……① 　　又由△FBA∽△FHC，得　，即，……② 　　由①②解得，x=60，y=100，答：兩鐵塔軸線間的距離為100米 　　(2)依題意建立坐標系如圖 　　由(1)得CH=60米，C點比A點高20米．這時A、C兩點坐標為：A(0，0)，C(100，20)，設(shè)拋物線頂點為P(x0，y0)，因為要求最低占高于地面為30－6=24米，點A高度為40米，∴y0=－16． 　　設(shè)過點A的拋物線解析式為：y=ax2+bx(a＞0)則該拋物線滿足：，化簡，得125b2+80b－16=0，解得：b1=，b2= 　　∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，有＞0，而a＞0，b＜0，故b1=舍 去．∴b=，代入前式，得a=，∴y=x2－． 　　答：所求拋物線解析式為y=．