Question

在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內三點處。現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心。

（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；

（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）P（3,1）處

【解析】（1）點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為.

（2）依題意，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和（記為d）的最小值；

1、當時，，因為

當且僅當時等號成立；

又因為，當且僅當時等號成立，

所以，當且僅當時等號成立. ，當且僅當時等號成立.

故當P的坐標為（3,1）時，P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45；

2、當時，由于“L路徑”不能進入保護區(qū)，所以”，此時，，有1知，，，當且僅當時等號成立，綜上所述，在P（3,1）處修建文化中心，可以使得“L路徑”長度之和最小.