Question

已知函數(shù)f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e是自然對數(shù)的底）
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）①當n=-1，m∈R時，若對于任意x∈[

1

2

，2]，都有f（x）≥x恒成立，求實數(shù)m的最小值；
②當m=n=1時，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R），是否存在實數(shù)a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，可得f（1）=

2

e

，f′（1）=-

1

e

，從而可得函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）①對于任意x∈[

1

2

，2]，都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥ex+

1

x

，對于任意x∈[

1

2

，2]恒成立，構(gòu)造函數(shù)可得φ（x）的最大值是φ（

1

2

）和φ（2）中的較大的一個，由此可求m的最小值；
②假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），則問題等價于2g（x）_min＜g（x）_max，1求導(dǎo)函數(shù)，分類討論求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，f′（x）=

-mx+(m-n)

ex

∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0
∴f（1）=

2

e

，f′（1）=-

1

e

∴

m+n

e

=

2

e

，

-n

e

=-

1

e

∴m=1，n=1
∴f（x）=（x+1）e^-x，f′（x）=-

x

ex

令f′（x）＞0，可得x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
（2）①當n=-1，m∈R時，

mx-1

ex

≥x，即m≥ex+

1

x

對于任意x∈[

1

2

，2]，都有f（x）≥x恒成立，等價于m≥ex+

1

x

，對于任意x∈[

1

2

，2]恒成立
記φ（x）=ex+

1

x

，則φ′（x）=ex-

1

x2

記h（x）=ex-

1

x2

，則h′（x）=ex+

2

x3

＞0對于任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴h（x）=ex-

1

x2

在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增
∵h(

1

2

)=

e

-4＜0，h(2)=e2-

1

4

＞0
∴φ′（x）=ex-

1

x2

在[

1

2

，2]上有唯一的零點x₀，
∴x∈（

1

2

，x₀），φ′（x）＜0，x∈（x₀，2），φ′（x）＞0
∴φ（x）在（

1

2

，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，2）上單調(diào)遞增
∴φ（x）的最大值是φ（

1

2

）和φ（2）中的較大的一個
∴m≥φ（

1

2

）且m≥φ（2）
∴m≥

e

+2且m≥e2+

1

2

∴m的最小值為e2+

1

2

；
②假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），則問題等價于2g（x）_min＜g（x）_max，
∵g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x=

x2+(1-t)x+1

ex

，∴g′（x）=

-(x-t)(x-1)

ex

當t≥1時，在[0，1]上g′（x）≤0，∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴2g（1）＜g（0），∴2×

3-t

e

＜1，∴t＞3-

e

2

＞1；
當t≤0時，在[0，1]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴2g（0）＜g（1），∴2＜

3-t

e

，∴t＜3-2e＜0；
當0＜t＜1時，在[0，t）上，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，t）上單調(diào)遞減，在（t，1]上，g′（x）＞0，∴g（x）在（t，1]上單調(diào)遞增，∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}
∴2×

t+1

et

＜max1，

3-t

e

由（1）知f（t）=

t+1

et

在[0，1]上單調(diào)遞減，故2×

t+1

et

≥

4

e

，
∵

3-t

e

＜

3

e

∴2×

t+1

et

＜max1，

3-t

e

無解
綜上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-

e

2

，+∞），使得命題成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．