Question

已知函數f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定義域為[1，+∞）．
（I）證明函數y=f（x）在其定義域上單調遞增；
（II）設0＜a＜b，求證：lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）由已知函數的解析式，及定義域，我們易求出函數的導函數的解析式，結合對數的運算性質，我們易判斷導函數的符號，進而得到函數y=f（x）在其定義域上單調遞增；
（II）結合（I）的結論，及0＜a＜b，我們易得f(

b

a

)＞0恒成立，利用對數的運算性質及不等式的性質，易得到結論．

解答：解：（I）證明：∵函數f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定義域為[1，+∞）．
∴當x∈[1，+∞）時，f′（x）=2x•lnx+（x+

1

x

）-2≥0恒成立
故函數f（x）=（x²+1）lnx-2x+2在定義域[1，+∞）上單調遞增；
（II）由（I）知，?x∈[1，+∞）．
f（x）≥f（1）=0恒成立
又∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1
∴f(

b

a

)=[（

b

a

）²+1]ln

b

a

-2

b

a

+2＞0
即lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性及函數單調性的性質，其中根據已知函數的解析式求出函數導函數的解析式，并判定其符號進而判斷函數的單調性是解答本題的關鍵．