Question

（2011•安徽模擬）設函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的值域；
（II）把x=B代入第一問化簡后的解析式中，令其值等于1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，
解法一：由b，c及cosB的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
解法二：由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進而確定出C的度數(shù)，由C的度數(shù)得到三角形為直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)得到a的值即可．

解答：解：（I）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則f(x)∈[

1

2

，2]；…（6分）
（II）由f(B)=1，得sin(B-

π

6

)=0，故B=

π

6

…（7分）
解法一：由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，
得a²-3a+2=0，解得a=1或2；…（12分）
解法二：由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

，
當C=

π

3

，A=

π

2

，從而a=

b2+c2

=2，…（9分）
當C=

2π

3

時，A=

π

6

，又B=

π

6

，從而a=b=1，…（11分）
故a的值為1或2．   …（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦、余弦定理，勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．