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        1. 已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,滿足
          AE
          AF
          ,動(dòng)點(diǎn)P滿足
          EP
          OA
          ,
          FO
          OP
          (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
          (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
          (2)過點(diǎn)B(0,2)的直線l與(1)中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N,若
          AM
          AN
          <0
          ,求直線l的斜率的取值范圍.
          分析:(1)用坐標(biāo)表示出
          AE
          、
          AF
          的坐標(biāo),利用
          AE
          AF
          即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
          (2)設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及
          AM
          AN
          <0
          ,利用數(shù)量積公式,即可求得直線l的斜率的取值范圍.
          解答:解:(1)設(shè)P(x,y),E(-1,y1),F(xiàn)(-1,y2)(y1、y2均不為0)
          EP
          OA
          得y1=y,即E(-1,y)
          由FO∥OP得 y2=-
          y
          x
          ,即F(-1,-
          y
          x

          AE
          AF
          ,∴
          AE
          AF
          =0

          ∴(-2,y1)•(2,y2)=0
          ∴y1y2=-4,∴y2=4x(x≠0)
          ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x≠0)
          (2)設(shè)直線l的方程y=kx+2(k≠0),M(
          y12
          4
          ,y1
          ),N(
          y22
          4
          ,y2

          聯(lián)立得
          y=kx+2
          y2=4x
          消去x得ky2-4y+8=0
           y1+y2=
          4
          k
           y1y2=
          8
          k
          ,且△=16-32k>0即k<
          1
          2

          AM
          AN
          =(
          y12
          4
          -1,y1
          )•(
          y22
          4
          -1,y2
          )=(
          y12
          4
          -1
          )•(
          y22
          4
          -1
          )+y1y2
          =
          y12y22
          16
          -
          1
          4
          (y12+y22)+1
          =
          4
          k2
          -
          1
          4
          (
          16
          k2
          -
          16
          k
          )+
          8
          k
          +1=
          k+12
          k
               
          AM
          AN
          <0
          ,∴-12<k<0,滿足k<
          1
          2
          ,
          ∴-12<k<0.
          點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查韋達(dá)定理,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,已知定點(diǎn)A(1,0),定圓C:(x+1)2+y2=8,M為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段AM上,點(diǎn)N在線段CM上,且滿足
          AM
          =2
          AP
          ,
          NP
          AM
          =0
          ,則點(diǎn)N的軌跡方程是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          ax
          x+b
          ,且f(1)=1,f(-2)=4.
          (1)求a、b的值;
          (2)已知定點(diǎn)A(1,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<-1)圖象上的任意一點(diǎn),求|AP|的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式f(x)≤
          2m
          (x+1)|x-m|
          恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定點(diǎn)A(1,0),定直線l:x=5,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)
          (Ⅰ)若M到點(diǎn)A的距離與M到直線l的距離之比為
          5
          5
          ,試求M的軌跡曲線C1的方程.
          (Ⅱ)若曲線C2是以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且以C1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),試求曲線C2的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定點(diǎn)A(1,0)和定圓B:x2+y2+2x-15=0,動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn),
          (1)求動(dòng)圓P的圓心P的軌跡C的方程.
          (2)設(shè)Q是軌跡C上任意一點(diǎn),求∠AQB的最大值.

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