Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)M(0，2)作直線與直線垂直，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系5
(3)直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

(1)  ;(2)相切；(3) 存在，.

解析試題分析：(1)通過(guò)橢圓性質(zhì)列出的方程，其中離心率,分析圖形知道當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，所以,橢圓中,從而建立關(guān)于的方程，解出;即得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)列出過(guò)定點(diǎn)直線的方程，其與直線垂直，求出其斜率，聯(lián)立橢圓方程，得出，寫(xiě)出關(guān)系；(3)對(duì)于存在性的問(wèn)題，要先假設(shè)存在，先設(shè)存在這樣的點(diǎn)，,結(jié)合圖形知道要先討論,當(dāng)時(shí)，明顯切線不垂直，當(dāng)時(shí)，先設(shè)切線，與橢圓方程聯(lián)立，利用，得出關(guān)于斜率的方程，利用兩根之積公式，解出點(diǎn)坐標(biāo).即值.此題為較難題型，分類討論時(shí)要全面.
試題解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以
因此當(dāng)時(shí)，面積最大，且最大值為
又離心率為即
由于，解得
所求橢圓方程為.
(2)由(1)知,
直線的斜率等于，直線的方程，
由消去，整理得，
直線與橢圓相切.
(3)假設(shè)直線上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)所引的兩條切線不垂直.
當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)向橢圓所引的切線的斜率為，則的方程為
由消去，整理得：

所以，      *
設(shè)兩條切線的斜率分別為，顯然，是方程的兩根，故：
解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為或
因此，直線上存在兩點(diǎn)和滿足題意.
考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線垂直的判斷；3.存在性問(wèn)題的求解;4.直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷.