Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，點(diǎn)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=±(x+1).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義求得2a，再根據(jù)焦距得c，解得b（2）先設(shè)直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離得高，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理與弦長公式得底，最后代入三角形面積公式得k

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為 (a>b>0)，由題意可得橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－1,0)，F2(1,0)．

∴2a＝

＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b2＝4－1＝3，

故橢圓C的方程為

(2)當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，計(jì)算得到：A，B，S△AF2B＝·|AB|·|F1F2|＝×3×2＝3，不符合題意．

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x＋1)，代入

消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

顯然Δ>0成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝－，x1·x2＝.

又|AB|·

＝·＝ ，

點(diǎn)F2到AB的距離d＝＝，

所以S△AF2B＝|AB|·d＝··＝＝，

化簡，得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0，解得k＝±1.

所以y=±(x+1).