Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，b₁+b₂=a₂，b₃是a₁與a₄的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，由題設(shè)條件知

1+q=1+d 2q2=1+1+3d

，由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，bn=2n-1，知

an

bn

=

2n-1

2n-1

，故S_n=

2-1

20

+

2×2-1

2

+

2×3-1

22

+…+

2n-1

2n-1

，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，
且a₁=b₁=1，b₁+b₂=a₂，b₃是a₁與a₄的等差中項(xiàng)．
設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
∴

1+q=1+d 2q2=1+1+3d

，解得d=q=2，或d=q=-

1

2

（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
b_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，bn=2n-1，
∴

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴S_n=

2-1

20

+

2×2-1

2

+

2×3-1

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
∴

1

2

Sn=

2-1

2

+

2×2-1

22

+

2×3-1

23

+…+

2n-1

2n

，②
∴

1

2

Sn=1+

2

2

+

2

4

+

2

8

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=1+2-

2

2n-1

-

2n-1

2n

，
∴S_n=6-

4

2n-1

-

4n-2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．