Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記不等式組

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈．在映射T：

u=x+y v=x-y

的作用下，區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的象為點(diǎn)（u，v）．
（1）在映射T的作用下，點(diǎn)（2，0）的原象是

 

；
（2）由點(diǎn)（u，v）所形成的平面區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）直接由方程組

x+y=2 x-y=0

求解在映射T的作用下，點(diǎn)（2，0）的原象；
（2）由

u=x+y v=x-y

，得

x= u+v 2 y= u-v 2

．代入原線性約束條件求關(guān)于u、v的約束條件，作出可行域，則點(diǎn)（u，v）所形成的平面區(qū)域的面積可求．

解答：解：不等式組

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

所表示的平面區(qū)域D如圖，

（1）由

x+y=2 x-y=0

，解得：

x=1 y=1

．
∴在映射T的作用下，點(diǎn)（2，0）的原象是（1，1）．
（2）由

u=x+y v=x-y

，得

x= u+v 2 y= u-v 2

．
代入不等式組

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

，得

u≥0 v≤0 u2+v2≤4

．
可行域如圖，

∴點(diǎn)（u，v）所形成的平面區(qū)域的面積為

1

4

×4π=π．
故答案為：（1）（1，1）；（2）4π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了映射的概念，考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，訓(xùn)練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．