Question

若對(duì)于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)m-2分類討論，當(dāng)m-2=0時(shí)，恒成立，當(dāng)m-2≠0時(shí)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等關(guān)系，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：∵對(duì)于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，
①當(dāng)m-2=0，即m=2時(shí)，不等式為-4＜0對(duì)任意x∈R恒成立，
∴m=2符合題意；
②當(dāng)m-2≠0，即m≠2時(shí)，（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0對(duì)于任意x∈R恒成立，
∴

m-2＜0 [-2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)＜0

，即

m＜2 -2＜m＜2

，
∴-2＜m＜2；
綜合①②，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是-2＜m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式恒成立問題，對(duì)于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．本題解題過程中運(yùn)用了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．對(duì)于二次函數(shù)問題特別要注意對(duì)開口方向和對(duì)稱軸以及判別式的研究．屬于中檔題．