【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，過原點
且斜率為1的直線
交橢圓
于
兩點，四邊形
的周長與面積分別為8與
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)設(shè)直線
交橢圓于
兩點，且
，求證：到直線的距離為定值.
【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ) 見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ)利用四邊形的周長和橢圓的定義得到
，再利用四邊形的面積公式和點在橢圓上求出橢圓的標準方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于
的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、平面向量的數(shù)量積為0進行求解.
試題解析：(Ⅰ)不妨設(shè)點
是第一象限的點，依題可得
.
∵
.
∵
.
∵點
在橢圓
上，
，解得
，或
（舍）,
∴橢圓
的標準方程為.
(Ⅱ)當直線
斜率存在時，設(shè)直線的方程為
,
由
消去
得
,
設(shè)
則
,
∵
,
即
,即
,
到直線的距離為
.
當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為
.
由橢圓的對稱性易知
到直線的距離為
.
到直線的距離為定值.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】城鎮(zhèn)化是國家現(xiàn)代化的重要指標，據(jù)有關(guān)資料顯示，1978—2013年，我國城鎮(zhèn)常住人口從1.7億增加到7.3億．假設(shè)每一年城鎮(zhèn)常住人口的增加量都相等，記1978年后第t（限定
）年的城鎮(zhèn)常住人口為
億．寫出的解析式，并由此估算出我國2017年的城鎮(zhèn)常住人口數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
(
為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為
(
為參數(shù))．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α 與C1，C2 各有一個交點．當 α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當 α＝
時，這兩個交點重合．
(1) 求曲線C1，C2的直角坐標方程
(2) 設(shè)當 α＝
時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當 α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設(shè)天燃氣管道.已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形
的三個頂點上，點
是弧
的中點，現(xiàn)欲在線段
上找一處開挖工作坑
（不與點
，重合），為鋪設(shè)三條地下天燃氣管線
，
，
，已知
米，
，記
，該三條地下天燃氣管線的總長度為
米.
（1）將表示成
的函數(shù)，并寫出的范圍；
（2）請確定工作坑的位置，使此處地下天燃氣管線的總長度最小，并求出總長度的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面
平面ABC，
，
，
．
若點M是線段BF的中點，證明：
平面AMC；
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行跟蹤調(diào)查，張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量y(單位：萬只)與相成年份x(序號)的數(shù)據(jù)表和散點圖(如圖所示)，根據(jù)散點圖，發(fā)現(xiàn)y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)z(單位：個)關(guān)于x的回歸方程
.
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量，求y關(guān)于x的線性回歸方程(參考統(tǒng)計量：
)；
(2)試估計：①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只?
②到第幾年，該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?
附：對于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在中國決勝全面建成小康社會的關(guān)鍵之年，如何更好地保障和改善民生，如何切實增強政策“獲得感”，成為
年全國兩會的重要關(guān)切．某地區(qū)為改善民生調(diào)研了甲、乙、丙、丁、戊
個民生項目，得到如下信息：①若該地區(qū)引進甲項目，就必須引進與之配套的乙項目；②丁、戊兩個項目與民生密切相關(guān)，這兩個項目至少要引進一個；③乙、丙兩個項目之間有沖突，兩個項目只能引進一個；④丙、丁兩個項目關(guān)聯(lián)度較高，要么同時引進，要么都不引進；⑤若引進項目戊，甲、丁兩個項目也必須引進．則該地區(qū)應(yīng)引進的項目為( )
A. 甲、乙B. 丙、丁C. 乙、丁D. 甲、丙
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知命題
：關(guān)于
的不等式
無解；命題
：指數(shù)函數(shù)
是
上的增函數(shù).
（1）若命題
為真命題，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若滿足為假命題且為真命題的實數(shù)取值范圍是集合
，集合
，且
，求實數(shù)
的取值范圍.
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