Question

【題目】已知一圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為a的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則a的最大值為（ ）

A.3B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，通過內(nèi)切球即可得到的最大值．

解：依題意，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，

設球心為，球的半徑為，下底面半徑為，軸截面上球與圓錐母線的切點為，圓錐的軸截面如圖：

則，因為，

故可得：；

所以：三角形為等邊三角形，故是的中心，

連接，則平分，；

所以，即，

即四面體的外接球的半徑為．

另正四面體可以從正方體中截得，如圖：

從圖中可以得到，當正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，

而正四面體的四個頂點都在正方體上，

故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以，

所以．

即的最大值為．

故選：B．