Question

（2009•荊州模擬）已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos2ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式，并寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式化簡，由三角函數(shù)的周期公式和題意求出ω的值，再由正弦函數(shù)的對稱中心求出函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)；
（2）由x的范圍求出4x-

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出4x-

π

6

對應(yīng)的區(qū)間，再求出x 的對應(yīng)的區(qū)間即可．

解答：解：（1）由題意得，f(x)=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)，
∵函數(shù)的最小正周期為

π

2

，∴

2π

2ω

=

π

2

，解得ω=2，
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)，
由4x-

π

6

=kπ（k∈z）得，x=

π

24

+

kπ

4

（k∈z），
∴f（x）圖象的對稱中心的坐標(biāo)（

π

24

+

kπ

4

，0）（k∈z），
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，4x-

π

6

∈[

5π

6

，

11π

6

]，
當(dāng)4x-

π

6

∈[

5π

6

，

3π

2

]時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，
即當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

4

，

5π

12

]．

點評：本題考查了倍角公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了的知識點較多，需要熟練掌握．