Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上存在最大值0，求函數(shù)在上的最大值；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） (3)見解析

【解析】分析：（1）對a分類討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)根據(jù)函數(shù)在上存在最大值0轉(zhuǎn)化得到a=1,再求函數(shù)在上的最大值.(3)先利用第2問轉(zhuǎn)化得到，再證明≤0.

詳解：（1）由題意可知， ，則，

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，解得時(shí)，，時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由（1）可知，且在處取得最大值，

，即，

觀察可得當(dāng)時(shí)，方程成立

令，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，

∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

所以，由題意可知，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得最大值

（3）由（2）可知，若，當(dāng)時(shí)，，即，

可得，

令，即證

令，

∵

∴，又，∴

∴，在上單調(diào)遞減，，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立

所以.