Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若這個(gè)三棱柱的底面是等邊三角形，側(cè)面都是正方形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）取、的中點(diǎn)、，連接、，證明出平面以及，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)為，連接、.

、分別為、的中點(diǎn)，，且，

為的中點(diǎn)，且.

且，四邊形為平行四邊形，.

平面，平面，平面；

（Ⅱ）解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

為等邊三角形 ，∴

側(cè)面都是正方形 ，，，

、平面且，平面，

平面，，，平面.

取中點(diǎn)為，連接，則.

以為原點(diǎn)，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)，則、、，

，，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，得，

取平面的法向量為.則，

結(jié)合圖形可知，二面角為銳角，其余弦值為.