Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與橢圓相切，過作，垂足為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意已知右焦點(diǎn)和過點(diǎn),用待定系數(shù)法求出和的值，即可求出橢圓的方程．

（2）分切點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)和不是橢圓頂點(diǎn)，當(dāng)切點(diǎn)不過橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)出切線方程，聯(lián)立切線方程和橢圓方程，由判別式等于0得到與的關(guān)系，再求出所在直線方程，聯(lián)立兩直線方程求得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得為定值2.

（1）解：由題意知，設(shè)橢圓的方程為，可得，解得，，

橢圓的方程為；

（2）證明：當(dāng)直線過橢圓長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，與頂點(diǎn)重合，此時(shí)；

當(dāng)直線過橢圓短軸兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得；

當(dāng)直線不過橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立，得．

由，得．

，且，

所在直線方程為，

聯(lián)立，解得，

．

故為定值2．