Question

【題目】已知橢圓E過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，離心率，∠F1AF2的平分線所在直線為l．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線l的方程；

（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)；2x-y-1=0 （3）不存在

【解析】

（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，設(shè)出直線BC方程代入橢圓E的方程，求得BC中點(diǎn)代入直線2x-y-1=0上，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）∵橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），離心率e= 解得a2=16，b2=12．
∴橢圓方程E為：.

（2）F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），∵A（2，3），∴AF1方程為：3x-4y+6=0，AF2方程為：x=2
設(shè)角平分線上任意一點(diǎn)為P（x，y），得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率為正，∴直線方程為2x-y-1=0；l與x軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，∴kBC=-，∴直線BC方程為y=-x+m代入橢圓方程得x2-mx+m2-12=0，∴BC中點(diǎn)為，代入直線2x-y-1=0上，得m=4．∴BC中點(diǎn)為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．