Question

（本小題滿分14分）一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側（左）視圖的面積分別為10和12，如圖2所示，其中，，，．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證平面．（2）。

【解析】

試題分析：（1）證明：因為，，所以，即．

又因為，，所以平面．

因為，所以．……………………………4分

（2）解：因為點、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設圓的半徑為，圓柱高為，根據正（主）視圖、側（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………8分

以下給出求三棱錐體積的兩種方法：

方法1：由（1）知，平面，所以．……10分

因為，，所以，即．

其中，因為，，

所以．…………………13分

所以．……………………14分

方法2：因為，

所以．……10分

其中，因為，，

所以．…………………13分

所以．………………………14分

考點：線面垂直的性質定理；線面垂直的判定定理；棱錐的體積公式；三視圖。

點評：①本題主要考查了空間的線線垂直的證明，充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力。②求三棱錐的體積，關鍵是三棱錐的底面積和高。一般的時候，找一個好求高的面當底面。