Question

（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+2sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)．
（I）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當x∈[0，

π

2

]  時，求函數(shù)f(x)的值域．

Answer 1

分析：（I）利用角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)，由此根據(jù)周期公式即可求得f（x）的最小正周期．
（II）當 x∈[0，

π

2

] 時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，求出sin(2x+

π

6

)的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

sin2x+sin(

π

2

+2x)…（3分）
=

3

sin2x+cos2x…（4分）
=2sin(2x+

π

6

)．…（6分）
故f（x）的最小正周期為π．…（8分）
（II）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（10分）
故sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（12分）
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]． …（14分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性以及求法，屬于中檔題．