Question

設函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，結(jié)果化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=即可求出f（x）的周期，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）把x=B代入（Ⅰ）化簡得到的f（x）中，讓其值等于，根據(jù)角B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出C的度數(shù)，分別根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)即可求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵=cos2xcos+sin2xsin-（1-cos2x）
=cos2x+sin2x+cos2x-1=（sin2x+cos2x）-1
=sin（2x+）-1，
∴T==π，
∵正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為：[2kπ-，2kπ+]，
∴當2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；
（Ⅱ）∵，即sin（2B+）-1=，
∴sin（2B+）=，
∴或2B+=（舍去），
∴，即sinB=，又b=1，c=，
由正弦定理得：sinC==，又C∈（0，π），
∴，
當C=時，由得到A=，即三角形為直角三角形，
由b=1，c=，根據(jù)勾股定理得：a=2；
當C=時，由B=得到A=，即三角形為等腰三角形，
則a=b=1，
綜上，a的值為2或1．
點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期及值域，正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值．求函數(shù)周期的方法是將函數(shù)利用三角函數(shù)的恒等變形化為一個角的三角函數(shù)，然后利用周期公式T=求出函數(shù)的周期；學生在第二問求角C度數(shù)時，注意兩種情況的考慮．