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        1. 已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點數(shù)學公式
          (Ⅰ)如果x=0時,數(shù)學公式,求a,b,c.
          (Ⅱ)如果將圖象上每個點的縱坐標不變,橫坐標縮小到原來的數(shù)學公式,然后將所得圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)=f(x)的圖象,并且方程f(x)=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數(shù)列,求y=f(x)的解析式.

          解:(Ⅰ)原函數(shù)可化為
          (其中φ為輔助角,滿足,),
          因為是它的最低點,
          所以
          解得
          所以
          又x=0時,,所以c=0,,
          (Ⅱ)因為,
          按題給變換后得
          方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點的橫坐標,
          它們成等差數(shù)列,即y=3與y=f(x)相鄰交點間的距離都相等.
          直線y=3滿足以上要求只能有三個位置:
          一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l1
          二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l2,
          三是和l1、l2平行且等距的直線l3,而圖象最低點為,
          故不可能是l2.假若直線y=3在l1,交點間隔為一個周期6,
          即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l3位置,
          所以c=3,,此時由得x=3k,
          正根可組成一個公差為3的等差數(shù)列,符合題意.

          分析:(Ⅰ)利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡整理,把最低點坐標代入求得φ和a,b和c的關(guān)系,表示出函數(shù)的解析式,把x=0代入即可求得a,b和c.
          (Ⅱ)依據(jù)題意可求得變換后函數(shù)的解析式,進而可知方程f(x)=3的正根就是直線y=3與y=f(x)的圖象交點的橫坐標,通過它們成等差數(shù)列,判斷出直線y=3滿足以上要求只能有三個位置:一是過圖象最高點且和x軸平行的直線l1,二是過圖象最低點且和x軸平行的直線l2,三是和l1、l2平行且等距的直線l3,根據(jù)最低點排除l2.假若直線y=3在l1,交點間隔為一個周期6,即正根的公差為6,不合題意,所以y=3只能在l3位置,求得c,則函數(shù)的解析式求得正根檢驗后符合題意,函數(shù)的解析式可得.
          點評:本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值,等差數(shù)列的應用,三角函數(shù)的圖象變換.考查了學生分析問題的能力和推理能力.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ),在同一周期內(nèi),當x=
          π
          12
          時,取最大值y=2,當x=
          12
          時,取得最小值y=-2,那么函數(shù)的解析式為(  )
          A、y=
          1
          2
          sin(x+
          π
          3
          B、y=2sin(2x+
          π
          3
          C、y=2sin(
          x
          2
          -
          π
          6
          D、y=2sin(2x+
          π
          6

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)y=Asin(ωx+∅)(A>0,ω>0,-π≤∅≤π)一個周期的圖象(如圖),則這個函數(shù)的一個解析式為( 。
          A、y=2sin(
          3
          2
          x+
          π
          2
          )
          B、y=2sin(3x+
          π
          6
          )
          C、y=2sin(3x-
          π
          6
          )
          D、y=2sin(3x-
          π
          2
          )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)y=Asin(ωx+?)+B(A>0,ω>0,|?|<
          π
          2
          )
          的周期為T,在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,則φ=
          -
          π
          6
          -
          π
          6

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )
          的一部分圖象如圖所示,則(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)y=Asin(ωx+∅)+k的最大值為4,最小值為0,最小正周期是
          π
          2
          ,在x∈[
          π
          24
          ,
          π
          12
          ]
          上單調(diào)遞增,則下列符合條件的解析式是(  )

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