【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為正方形，平面
平面，
為
的中點(diǎn)，
，
.
（1）求二面角
的大小；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）取
中點(diǎn)
，設(shè)
相交于
，連接
，
.通過等腰三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)定理，以及正方形的性質(zhì)，證得
,由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面
和平面
的法向量，計算出二面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小.（2）利用直線
的方向向量和平面
的法向量，計算出線面角的正弦值.
（1）取中點(diǎn)，設(shè)相交于，連接，.
因為
，所以
.
又因為平面
平面
，且
平面
，所以
平面.
因為
平面，所以
.
因為是正方形，所以
.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系
，則
，
，
，
，
.
設(shè)平面的法向量為
，則
，即
.
令
，則
，
.于是
.
平面的法向量為
，所以
.
由題知二面角
為銳角，所以它的大小為.
（2）由題意知
，
，
.
設(shè)直線與平面所成角為
，
則
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
全優(yōu)沖刺100分系列答案
英才點(diǎn)津系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某省數(shù)學(xué)學(xué)會為選拔一批學(xué)生代表該省參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，在省內(nèi)組織了一次預(yù)選賽，該省各校學(xué)生均可報名參加.現(xiàn)從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取
人的成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這名學(xué)生中本次預(yù)選賽成績優(yōu)秀的男、女生人數(shù)之比為
，成績一般的男、女生人數(shù)之比為
.已知從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽到男生的概率是
（1）請將下表補(bǔ)充完整，并判斷是否有
的把握認(rèn)為在本次預(yù)選賽中學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？
成績優(yōu)秀 | 成績一般 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
|
（2）以樣本估計總體，視樣本頻率為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，從所有本次預(yù)選賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取
人代表該省參加全國聯(lián)賽，記抽到的女生人數(shù)為
，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：
，其中
；
臨界值表供參考：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】黃河被稱為我國的母親河，它的得名據(jù)說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現(xiàn)黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經(jīng)黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設(shè)黃河和洮河在汛期的水流量均為2000
，黃河水的含沙量為
，洮河水的含沙量為
，假設(shè)從交匯處開始沿岸設(shè)有若干個觀測點(diǎn)，兩股河水在流經(jīng)相鄰的觀測點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股河水在1秒內(nèi)交換
的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.
（1）求經(jīng)過第二個觀測點(diǎn)時，兩股河水的含沙量；
（2）從第幾個觀測點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于
?（不考慮泥沙沉淀）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
其中
為實數(shù).設(shè)
，
為該函數(shù)圖象上的兩個不同的點(diǎn).
（1）指出函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)
，
處的切線互相平行，求
的最小值；
（3）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)，處的切線重合，求的取值范圍.(只要求寫出答案).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
地正西方向
的
處和正東方向
的
處各一條正北方向的公路
和
，現(xiàn)計劃在和路邊各修建一個物流中心
和
.
（1）若在處看，的視角
，在處看測得
，求
，
；
（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路
和
，設(shè)
，公路的每千米建設(shè)成本為
萬元，公路的每千米建設(shè)成本為
萬元.為節(jié)省建設(shè)成本，試確定，的位置，使公路的總建設(shè)成本最小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了調(diào)查民眾對國家實行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過網(wǎng)絡(luò)問卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：
年齡 |
|
|
|
|
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|
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新農(nóng)村建設(shè)” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
（1）根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面的
列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異；
年齡低于50歲的人數(shù) | 年齡不低于50歲的人數(shù) | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
（2）為了進(jìn)一步推動“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實施，中央電視臺某節(jié)目對此進(jìn)行了專題報道，并在節(jié)目最后利用隨機(jī)撥號的形式在全國范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾（假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)），給予適當(dāng)?shù)莫剟?/span>.若以頻率估計概率，記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為
，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
（2）若與相交于
兩點(diǎn)，求
的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為3的等邊三角形ABC，E，F分別在邊AB，AC上，且
，M為BC邊的中點(diǎn)，AM交EF于點(diǎn)O，沿EF將
，折到DEF的位置，使
．
（1）證明
平面EFCB；
（2）試在BC邊上確定一點(diǎn)N，使
平面DOC，并求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△
DE，使平面DE⊥平面BCDE，若M為線段C的中點(diǎn)，下面四個命題中不正確的是（ ）
A.BM
平面DEB.CE⊥平面DE
C.DEBMD.平面CD⊥平面CE
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