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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,正三棱錐S-ABC中,底面的邊長是3,棱錐的側面積等于底面積的2倍,M是BC的中點.
          求:(1)
          AMSM
          的值;
          (2)二面角S-BC-A的大。
          (3)正三棱錐S-ABC的體積.
          分析:(1)證明知,AM與SM分別是同底的兩個三角形的高,故兩線段長度的比即它們相應三角形面積的比,由棱錐的側面積等于底面積的2倍,三個側面面積相等,易得兩三角形的面積比.
          (2)由(1)知,角SMA即二面角S-BC-A的平面角,故在三角形SMA中求解即可;
          (3)由圖形及(1)(2)的證明直接求出底面積與高用體積公式求體積即可求得體積.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵SB=SC,AB=AC,M為BC的中點,
          ∴SM⊥BC,AM⊥BC.
          由棱錐的側面積等于底面積的2倍,即
          1
          2
          BC×SM=2×
          1
          2
          BC×AM,得
          AM
          SM
          =
          3
          2

          (2)作正三棱錐的高SG,
          則G為正三角形ABC的中心,G在AM上,GM=
          1
          3
          AM.
          ∵SM⊥BC,AM⊥BC,
          ∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角.
          在Rt△SGM中,
          ∵SM=
          2
          3
          AM=
          2
          3
          ×3GM=2GM,
          ∴∠SMA=∠SMG=60°,
          即二面角S-BC-A的大小為60°.
          (3)∵△ABC的邊長是3,
          ∴AM=
          3
          3
          2
          ,GM=
          3
          2
          ,SG=GMtan60°=
          3
          2
          3
          =
          3
          2

          ∴VS-ABC=
          1
          3
          S△ABC•SG=
          1
          3
          9
          3
          4
          3
          2
          =
          9
          3
          8
          點評:本題的考點是棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查根據(jù)幾何體的幾何特征求二面角,求體積的能力,立體幾何中求體積的題,其求解規(guī)律都是先研究幾何體的形狀,再根據(jù)幾何特征選擇求解的公式.故研究其幾何特征是正確求解的關鍵.
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          3
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