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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知a為實數,f(x)=(x2-4)(x-a),f′(x)為f(x)的導函數.
          (Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
          (Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均單調遞增,求a的取值范圍.
          分析:(I)結合已知中函數的解析式及f′(-1)=0,構造方程求出a值,進而分析出函數的單調性后,求出函數的極值和端點對應的函數值,比照后可得答案.
          (II)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均單調遞增,則f′(x)=3x2-2ax-4≥0對(-∞,-2]恒成立且f′(x)=3x2-2ax-4≥0對[2,+∞)恒成立,解不等式組可得答案.
          解答:解:(I)∵f(x)=(x2-4)(x-a),
          ∴f′(x)=2x(x-a)+(x2-4)
          又∵f′(-1)=-2×(-1-a)+(1-4)=0,
          ∴a=
          1
          2

          ∴f(x)=(x2-4)(x-
          1
          2
          ),
          ∴f′(x)=2x(x-
          1
          2
          )+(x2-4)=3x2-x-4
          令f′(x)=0,
          解得x=-1,x=
          4
          3

          當x∈[-2,-1]時,f′(x)≤0恒成立,f(x)為減函數
          當x∈[-1,4/3]時,f′(x)≥0恒成立,f(x)為增函數,
          當x∈[4/3,2]時,f′(x)≤0恒成立,f(x)為減函數
          又∵f(-2)=0,f(-1)=
          9
          2
          ,f(
          4
          3
          )=-
          50
          27
          ,f(2)=0
          可以得到最大值為
          9
          2
          ,最小值為-
          50
          27

          (II)∵f(x)=(x2-4)(x-a),
          ∴f′(x)=3x2-2ax-4,
          依題意:f′(x)=3x2-2ax-4≥0對(-∞,-2]恒成立,即
          2ax≤3x2-4
          ∴a≥
          3
          2
          x-
          2
          x

          又∵y=
          3
          2
          x-
          2
          x
          在(-∞,-2]上為增函數,故x=-2時,
          3
          2
          x-
          2
          x
          取最大值-2,
          所以a≥-2
          f′(x)=3x2-2ax-4≥0對[2,+∞)恒成立,即
          2ax≤3x2-4
          ∴a≤
          3
          2
          x-
          2
          x

          又∵y=
          3
          2
          x-
          2
          x
          在[2,+∞)上為增函數,故x=2時,
          3
          2
          x-
          2
          x
          取最小值2,
          所以a≤2
          故a的取值范圍為[-2,2].
          點評:本題考查的知識點是利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,是導數的綜合應用,難度較大.
          練習冊系列答案
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          (2)若f'(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

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