Question

【題目】已知函數(shù)（）在處取得極值．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）由題意可得， 則．據(jù)此可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知在處取得最大值． 分類(lèi)討論有：①當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)． ②當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)． ③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．

詳解：（1）因?yàn)?/span>，

又，即，解得．

令，即，解得；

令，即，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由（1）知在處取得最大值．

①當(dāng)即時(shí)，，所以無(wú)零點(diǎn)．

②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

所以有一個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)即時(shí)，，

因?yàn)?/span>，且，

又在上單調(diào)遞增，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，且，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．

又在上單調(diào)遞減，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．