Question

【題目】已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)， 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線分別相交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第四象限內(nèi)）．

（1）若，求直線的方程；

（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長軸長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意設(shè)直線的方程為.設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)可求得 .則直線的方程為.

(2)由題意可得直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，由對稱性聯(lián)立直線與拋物線的方程可得橢圓的長軸長的最小值為

試題解析：

解：（1）解法一:由題意得拋物線方程為.

設(shè)直線的方程為.

令， ，其中. 由,得.

聯(lián)立，可得,，解得,,

.

直線的方程為.

(2)設(shè),直線， 點(diǎn)在拋物線上,

直線的斜率存在,

關(guān)于直線對稱,所以.解得.

故代入拋物線，可得， .

直線的方程為或.

設(shè)橢圓為. 聯(lián)立直線和橢圓,消去整理得

，解得.

則，即.橢圓的長軸長的最小值為