Question

已知[（m-1）x+1）]（x-1）＞0，其中0＜m＜2，
（1）解不等式．
（2）若x＞1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）由于不等式的解集與方程的根有關(guān)，而0＜m＜2，從而需對(duì)m進(jìn)行討論：當(dāng)m-1=0時(shí)，為一次不等式；當(dāng)m-1＞0時(shí)，解集在兩根之外；當(dāng)m-1＜0時(shí)，解集在兩根之間．
（2）x＞1時(shí)，原命題化為（m-1）x+1＞0恒成立，分離參數(shù)可解．

解答：解：（1）[（m-1）x+1）]（x-1）＞0
當(dāng)m-1=0時(shí)，不等式為（x-1）＞0即{x|x＞1}．
當(dāng)m-1＞0時(shí)，不等式解集為{x|x＞1或x＜

1

1-m

}
當(dāng)m-1＜0時(shí)，不等式解集為{x|1＜x＜

1

1-m

}
綜上得：當(dāng)m=1時(shí)解集為{x|x＞1}，當(dāng)0＜m＜1時(shí)解集為{x|1＜x＜

1

1-m

}
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，不等式解集為{x|x＞1或x＜

1

1-m

}
（2）x＞1時(shí)，原命題化為（m-1）x+1＞0恒成立，∴（m-1）＞

-1

x

，∴m≥1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，注意解集與對(duì)應(yīng)方程根之間的關(guān)系，對(duì)于恒成立問(wèn)題，采用分離參數(shù)法．