Question

（1）過點P作直線l，使點A、B到l的距離相等．這樣的直線l可作幾條？
（2）過點P作直線l，使點Q到直線l距離為d．這樣的直線l可作幾條？
（3）與點A、B距離同為d的直線l可作幾條？
（4）過點A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作幾組？
（5）過l₁上-A點作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d．這樣的直線l可作幾條？

Answer 1

分析：（1）當點P為線段AB的中點時，可作無數(shù)條．當點P在直線AB上，但點P不是線段AB的中點時，可作一條，就是直線AB．當點P不在直線AB上時，可作2條．
（2）當d＞PQ時，過點P作直線l，使點Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作0條．當d=PQ時，這樣的直線l可作1條．當d＜PQ時，這樣的直線l可作2條．
（3）當d＞

1

2

AB時，與點A、B距離同為d的直線l可作2條，它們都和AB平行；當d=

1

2

AB時，可作3條，當d＜

AB

2

時，可作4條．
（4）當d＞AB時，這樣的直線l₁、l₂可作0條．當d=AB時，這樣的直線l₁、l₂可作2條．d＜AB時，這樣的直線l₁、l₂可作4條．
（5）當d=AB時，這樣的直線l可作1條；當d＜AB時，這樣的直線l可作2條；當d＞AB時，這樣的直線l可作0條．

解答：解：（1）當點P為線段AB的中點時，過點P作直線l，使點A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作無數(shù)條．
當點P在直線AB上，但點P不是線段AB的中點時，過點P作直線l，使點A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作一條，就是直線AB．
當點P不在直線AB上時，過點P作直線l，使點A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作2條，一條和AB平行，另一條過線段AB的中點．
（2）當d＞PQ時，過點P作直線l，使點Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作0條；
當d=PQ時，過點P作直線l，使點Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作1條．
當d＜PQ時，過點P作直線l，使點Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作2條，直線PQ正好是這2條直線的角平分線．
（3）當d＞

1

2

AB時，與點A、B距離同為d的直線l可作2條，它們都和AB平行；
當d=

1

2

AB時，與點A、B距離同為d的直線l可作3條，有2條和AB平行，第三條為線段AB的中垂線；
當d＜

AB

2

時，與點A、B距離同為d的直線l可作4條，有2條和AB平行，另外的2條過線段AB的中點．
（4）當d＞AB時，過點A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作0條；
當d=AB時，過點A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作2條，
d＜AB時，過點A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作4條．
（5）當d=AB時，過l₁上-A點作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d，這樣的直線l可作1條；
當d＜AB時，過l₁上-A點作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d，這樣的直線l可作2條；
當d＞AB時，過l₁上-A點作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d．這樣的直線l可作0條．

點評：本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．