Question

【題目】過點(diǎn)作拋物線的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, .

（1） 證明: 為定值;

（2） 記△的外接圓的圓心為點(diǎn), 點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 對(duì)任意實(shí)數(shù), 試判斷以為直徑的圓是否恒過點(diǎn)? 并說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)對(duì) 求導(dǎo)，得到直線的斜率為 ，進(jìn)一步得到直線的方程為. 將點(diǎn)點(diǎn)代入直線方程，整理得.

同理, . 又, 所以為定值.

(Ⅱ)由題意可得)直線的垂直平分線方程為. ①

同理直線的垂直平分線方程為. ②

由①②解得點(diǎn). 又 拋物線的焦點(diǎn)為 則由， 可得 所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)

試題解析：

(Ⅰ) 法1:由,得,所以. 所以直線的斜率為.

因?yàn)辄c(diǎn)和在拋物線上, 所以,.

所以直線的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,

所以,即.

同理, .

所以是方程的兩個(gè)根.

所以.

又,

所以為定值.

法2:設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為,

由消去得,

由, 化簡(jiǎn)得.

所以.

由,得,所以.

所以直線的斜率為,直線的斜率為.

所以, 即.

又,

所以為定值.

(Ⅱ) 法1：直線的垂直平分線方程為,

由于,,

所以直線的垂直平分線方程為. ①

同理直線的垂直平分線方程為. ②

由①②解得, ,

所以點(diǎn).

拋物線的焦點(diǎn)為 則

由于，

所以

所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)

另法: 以為直徑的圓的方程為

把點(diǎn)代入上方程,知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.

所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)

法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則△的外接圓方程為，

由于點(diǎn)在該圓上，

則，

.

兩式相減得, ①

由(Ⅰ)知,代入上式得

,

當(dāng)時(shí), 得, ②

假設(shè)以為直徑的圓恒過點(diǎn),則即,

得, ③

由②③解得,

所以點(diǎn).

當(dāng)時(shí), 則,點(diǎn).

所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)