Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)總在直線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知，可求，，故方程為；（2）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，由得，由共線，得，又，則，代入可得結(jié)論．

試題解析：（1）由題意知：，

∵橢圓上的點(diǎn)滿足，且，

∴，

∴．

∴

又∵，∴．

∴橢圓的方程為，

（2）由題意知，

①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，則的方程是：，

的方程是：，直線與直線的交點(diǎn)為，

∴點(diǎn)在直線上．

（2）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為、，

由得，

∴．

，共線，∴．

又，需證明共線，

需證明，只需證明，

若，顯然成立，若，即證明

成立．

∴共線，即點(diǎn)總在直線上．