Question

某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健身室.如圖所示，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在上.設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請(qǐng)將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點(diǎn)H在的何處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

S=（50－40cosθ）（50－40sinθ），當(dāng)θ=0或θ=，S_max=500

解: 延長(zhǎng)GH交CD于N，則NH=40sinθ，CN=40cosθ.
∴HM=ND=50－40cosθ，AM=50－40sinθ.
故S=（50－40cosθ）（50－40sinθ）=
100［25－20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ］（0≤θ≤）.
令t=sinθ+cosθ=sin（θ+），
則sinθcosθ=，且t∈［1，］.
∴S=100［25－20t+8（t²－1）］=800（t－）²+450.
又t∈［1，］，∴當(dāng)t=1時(shí)，S_max=500，
此時(shí)sin（θ+）=1sin（θ+）=.
∵≤θ+≤π，∴θ+=或π，
即θ=0或θ=.
答:當(dāng)點(diǎn)H在的端點(diǎn)E或F處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是500 m².