【題目】已知函數(shù)(
,
,
為自然對數(shù)的底數(shù)),若
對于
恒成立.
(1)求實數(shù)的值;
(2)證明:存在唯一極大值點
,且
.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)f(x)提取公因式,可知只需,而
,所以
是
的一個極小值點,可解得
。(2)由(1)知
,
,
.令
,則
,由單調(diào)性及
,
,知在
上存在
,滿足
,可知
在
上只有一個極小值點0,
存在唯一的極大值點
,且
.再由隱零點回代可證得不等式成立。
試題解析:(1)由,可得
,
因為,所以
,
從而是
的一個極小值點,
由于,所以
,即
.
當時,
,
,
∵時,
,
在
上單調(diào)遞減,
時,
,
在
上單調(diào)遞增;
∴,故
.
(2)當時,
,
.
令,則
,
∵時,
,
在
上為減函數(shù);
時,
,
在
上為增函數(shù),
由于,
,所以在
上存在
滿足
,
∵在
上為減函數(shù),
∴時,
,即
,
在
上為增函數(shù),
時,
,即
,
在
上為減函數(shù),
時,
,即
,
在
上為減函數(shù),
時,
,即
,
在
上為增函數(shù),
因此在
上只有一個極小值點0,
綜上可知,存在唯一的極大值點
,且
.
∵,∴
,
所以,
,
∵時,
,∴
;
∵,∴
;
綜上知:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為
萬元,且
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量
(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當年產(chǎn)量為多少萬只時,該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線
在點
處切線與直線
垂直.
(1)試比較與
的大小,并說明理由;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點
,
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+2bx,若存在實數(shù)x0∈(0,t),使得對任意不為零的實數(shù)a,b均有f(x0)=a+b成立,則t的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量
(單位:毫米)有關(guān)據(jù)統(tǒng)計,當
時,
;
每增加10,
增加5.已知近20年
的值為:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的頻率分布表:近20年六月份降雨量頻率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為定義在實數(shù)集
上的函數(shù),把方程
稱為函數(shù)
的特征方程,特征方程的兩個實根
、
(
),稱為
的特征根.
(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)已知為給定實數(shù),求
的表達式;
(3)把函數(shù),
的最大值記作
,最小值記作
,研究函數(shù)
,
的單調(diào)性,令
,若
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的一個內(nèi)角為
,并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則
的面積為( )
A. 15 B. C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點P(1,2),根據(jù)下列條件分別求出直線l的方程(斜截式方程):
(1)直線l與垂直;
(2)l在x軸、y軸上的截距之和等于0.
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