Question

【題目】已知為定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根、（），稱為的特征根.

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知為給定實(shí)數(shù)，求的表達(dá)式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，研究函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；理由見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，判斷為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，取和，非奇非偶函數(shù)，得到答案.

（2）根據(jù)韋達(dá)定理得到，代入表達(dá)式化簡(jiǎn)得到答案.

（3）先證明在內(nèi)單調(diào)遞增，，代入不等式得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，

且，是非奇非偶函數(shù)

綜上所述：時(shí)，為奇函數(shù)；時(shí)，是非奇非偶函數(shù).

（2）恒成立

（3）先證明上是遞增函數(shù)，設(shè)

由（2）可知：、是方程的兩個(gè)實(shí)根，

又

在內(nèi)單調(diào)遞增，

恒成立