Question

（2012•奉賢區(qū)二模）數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=p，p＞0，k∈N^*，a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ．
（1）當(dāng)k=1，f（p，k）=p+k，p=5時(shí)，求a₂，a₃；
（2）若數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出f（p，k）滿足的一個(gè)條件，并寫出相應(yīng)的通項(xiàng)公式（不必證明）；
（3）當(dāng)k=1，f（p，k）=p+k時(shí)，設(shè)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，利用a₁=p=5，代入計(jì)算，即可求得a₂，a₃；
（2）設(shè)出公比，利用a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ，即可得到當(dāng)f（p，k）=1+p^k時(shí)，a_n=pⁿ．
（3）當(dāng)k=1，f（p，k）=p+k時(shí)，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ，再利用分組求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，a_n+a_n+1=6•5ⁿ，
∵a₁=p=5，
∴a₂=25，a₃=125
（2）數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a_n=p×q^n-1，
∴a_n+k=p×q^n+k-1，
∴a_n+a_n+k=p×q^n-1+p×q^n+k-1=（1+q^k）×p×q^n-1，
∵a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ
∴q=p時(shí)，f（p，k）=1+p^k時(shí)，a_n+a_n+k=（1+p^k）•pⁿ且a_n=pⁿ．
（3）當(dāng)k=1，f（p，k）=p+k時(shí)，a_n+a_n+1=（1+p）pⁿ．
由（2）知，∴T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=（1+p）（p+p²+…+pⁿ）
p=1時(shí)，T_n=2n；當(dāng)p≠1且p＞0時(shí)，T_n=

(1+p)p(1-pn)

1-p

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．