Question

已知向量

a

=（sin（ωx+?），2），

b

=（1，cos（ωx+?））(ω＞0，0＜?＜

π

4

)，函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）的圖象過點M(1，

7

2

)，且該函數(shù)相鄰兩條對稱軸間的距離為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象按向量

a

=(-

2

3

，-3)平移后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，討論函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）利用向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，利用周期求出ω，圖象通過點，求出?，得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象按向量

a

=(-

2

3

，-3)平移后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，得到函數(shù)的解析式，根據(jù)[1，2]求出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

²-

b

²=|

a

|²-|

b

|²=sin²（ωx+?）+4-cos²（ωx+?）-1=3-cos（2ωx+2?）．
∴f（x）的最小正周期為

2π

2ω

=2×2，即ω=

π

4

．
又f（x）的圖象過點M（1， 

7

2

），
∴

7

2

=3-cos(

π

2

+2?)，即sin2?=

1

2

．
而0＜?＜

π

4

，∴2?=

π

6

，則?=

π

12

．
∴f（x）=3-cos(

π

2

x+

π

6

)..…（6分）
（Ⅱ）依題意，g(x)=3-cos[

π

2

(x+

2

3

)+

π

6

]-3=sin

π

2

x．
∵x∈[1，2]，∴

π

2

x∈[

π

2

，π]．
∴函數(shù)y=g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．…（12分）

點評：本題是中檔題，通過向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的公式的應(yīng)用，函數(shù)圖象的特點求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，注意角的范圍，考查計算能力．