Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為A，上頂點為B，且滿足向量

(1)若A，求橢圓的標準方程;

(2)設(shè)P為橢圓上異于頂點的點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過F1，問是否存在過F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由題易知，因為，所以為等腰三角形

所以b=c，由此可求，即可得到橢圓的標準方程;

（2）由（1）可得．，P的坐標為

則由題意得,即，又因為P在橢圓上，所以,聯(lián)立可得

設(shè)圓心為 ，則，利用兩點間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線的方程為：．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

（1）易知，因為

所以為等腰三角形

所以b=c，由可知

故橢圓的標準方程為：

（2）由已知得,

設(shè)橢圓的標準方程為，P的坐標為

因為,所以

由題意得,所以

又因為P在橢圓上，所以,由以上兩式可得

因為P不是橢圓的頂點，所以，故

設(shè)圓心為 ，則

圓的半徑

假設(shè)存在過的直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為

由相切可知,所以

即，解得

故存在滿足條件的直線。